os Teoremas da Incompletude de Gödel, de Kurt Gödel (provados por ele em 1931) destruíram a busca por uma teoria matemática de todas as coisas. na época, matemáticos tentavam definir um conjunto de axiomas que fosse completo e consistente, mas que também servisse como base para todos os conceitos matemáticos. porém, Gödel provou que quaisquer conjuntos formais que tivessem poder suficiente para expressar a aritmética básica seriam inevitavelmente incompletos.
pensando em um sistema de axiomas - um conjunto de regras básicas que servem como base para o desenvolvimento de teoremas - que seja consistente (ou seja, que não tenha contradições) e suficientemente expressivo, sempre haverá verdades matemáticas que não poderão ser provadas dentro do próprio sistema.
assim, a matemática se depara com um paradoxo: se um sistema é completo, ele pode provar todas as verdades matemáticas, mas também pode gerar contradições (tornando-o inconsistente). se um sistema é consistente, não gera contradições, mas também não pode provar todas as verdades matemáticas, ficando incompleto.
as implicações dos teoremas de Gödel são profundas e abrangentes. primeiro, demonstram que nem todos os aspectos da matemática podem ser formalizados em um único sistema axiomático, e sugerem que a verdade matemática pode ir além do que se pode provar dentro de um sistema formal. também questionam a natureza da matemática, sua relação com a lógica e a existência de uma verdade matemática absoluta.
sentença de gödel
a sentença de Gödel, também conhecida como sentença G, diz:
“eu não posso ser provada dentro desse sistema.”
- caso a sentença G seja falsa, podemos prová-la dentro do sistema, o que leva a uma contradição;
- caso a sentença G seja verdadeira, significa que ela não pode ser provada dentro do sistema, confirmando sua própria afirmação.
essa autorreferência paradoxal demonstra que o sistema é incompleto:
- se o sistema for completo, ele também pode provar a sentença G , levando a uma contradição;
- se o sistema for consistente (livre de contradições), ele não pode provar a sentença G, revelando sua incompletude
assim, um conjunto de axiomas não pode se auto provar - é impossível haver um conjunto da teoria matemática de todas as coisas, porque ele não pode ser provado fora de si mesmo.