entendendo logaritmos

“logaritmos são uma outra forma de pensar em expoentes”

na equação exponencial, sabemos que 2 elevado à 4ª potência é igual a 16, ou seja: $2^4=16$.

caso se queira inverter e descobrir 2 elevado a qual potência é igual a 16?, a resposta é 4. isso é expressado pela equação logarítmica: $lo{g}_{2}16=4$, ou seja “log de 16 na base 2 é igual a 4”.

$$2^4=16<=>lo{g}_{2}16=4$$

as duas equações descrevem a mesma relação entre os números $2$, $4$ e $16$, em que $2$ é a base e $4$ é o expoente. a diferença é que a equação exponencial isola a potência ($16$), enquanto a equação logarítmica isola o expoente ($4$).

a expressão $lo{g}_{2}16$ (“log de 16 com base 2”) significa “quantos 2s deve-se multiplicar para chegar a 16?”. a resposta é $4$: $2\ast 2\ast 2\ast 2=16$, então, $lo{g}_{2}16=4$

logaritmos são o oposto de exponenciais:

$$10^2=100<=>lo{g}_{10}100=2$$ $$10^3=1000<=>lo{g}_{10}1000=3$$ $$2^3=8<=>lo{g}_{2}8=3$$ $$2^4=16<=>lo{g}_{2}16=4$$ $$2^5=32<=>lo{g}_{2}32=5$$

definição de logaritmo

$$lo{g}_{b}a=c<=>b^c=a$$

as duas equações descrevem a mesma relação entre $a$, $b$ e $c$:

• $b$ é a base;
• $c$ é o expoente
• $a$ é o argumento

nessa relação entre exponencial e logaritmo, a base do logaritmo é igual à base do expoente.

cálculo de logaritmos

para calcular $lo{g}_{4}64$:

1. igualar a expressão a $x$: $$lo{g}_{4}64=x$$
2. transformar em uma equação exponencial: $$4^x=64$$
3. $4$ elevado a qual potência é $64$? $$4^3=64$$
4. portanto, o resultado é $3$: $$lo{g}_{4}64=3$$

restrições

restrição	raciocínio
$b>0$	em uma função exponencial, a base $b$ sempre deve ser positiva
$a>0$	$lo{g}_{b}a=c$ significa que $b^c=a$; como um número positivo elevado a qualquer potência é sempre positivo, ou seja, $b^c>0$, então $a>0$
$b\ne 1$	$1$ elevado a qualquer potência é sempre $1$, portanto a base nunca pode ser $1$.

NOTE

quando se fala sobre a notação Big O, $log$ sempre vai significar $lo{g}_2$

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🔗 fontes

• Khan Academy