o capítulo começa introduzindo as três personalidades que dão nome ao livro: Kurt Gödel, Johann Sebastian Bach e M. C. Escher e como seus trabalhos se relacionam com a ideia de strange loops, temática que irá acompanhar todo o livro.
bach
Bach era conhecido por seu talento em trabalhar com improvisos, e nesse capítulo conhecemos a história de sua coletânea improvisada de fugas e cânones publicada em 1747, chamada The Musical Offering. a coletânea foi criada a partir de um tema (The Royal Theme) apresentado a Bach pelo rei Frederick the Great da Prússia - e então oferecida ao rei como um presente.
um dos cânones do The Musical Offering é especialmente incomum: Canon 5 à 2 per tonos, também conhecido como “an endlessly rising canon” (um cânone infinitamente ascendente).
“à 2 per tonos” significa que o cânone é escrito para duas vozes, e que cada voz segue uma progressão específica de notas (tonos). a peça cria uma ilusão auditiva - a progressão de notas ascendentes nas duas vozes, combinada com o atraso entre elas, gera a sensação de que a melodia está sempre subindo, sem nunca chegar a um final. essa sensação de ascensão infinita é o aspecto mais intrigante desse cânone: “ascendenteque modulatione ascendat gloria regis” (enquanto a modulação ascender, a glória do rei também ascenderá).
“neste cânone, Bach nos dá nosso primeiro exemplo da noção de strange loops. o fenômeno do ‘strange loop’ ocorre quando, ao mover para cima (ou para baixo) os níveis de algum sistema hierárquico, inesperadamente nos encontramos exatamente onde começamos.” (pág. 10)
escher
os trabalhos de M. C. Escher são “a mais bela e poderosa realização visual do conceito de strange loops”, segundo Hofstadter. Escher foi um artista gráfico conhecido por obras que desafiam a percepção e a realidade, explorando temas como infinitos, tesselações, metamorfoses e construções impossíveis. ele se inspirava na matemática e na arquitetura para criar mundos surrealistas e intrigantes, escadas que não levam a lugar nenhum e objetos que se transformam em outros - sempre com precisão técnica e riqueza de detalhes.
a primeira obra de Escher a ser apresentada no livro é a litografia Waterfall (1961), que mostra uma máquina de movimento perpétuo em que a água parece descer até atingir de novo o topo da cachoeira. Hofstadter compara o loop de descida da água com o loop de subida do canon 5 à 2 per tonos.
o autor também fala sobre como é possível ordenar strange loops de acordo com sua tensão: quanto mais perto o início está do final (ou, quantas etapas são necessárias para que o loop se complete), mais apertado é o loop - quanto mais longe (mais etapas), mais frouxo.
continuando o tema de ascensão, o livro fala sobre a litografia “Ascending, Descending”, que é resultado da troca de ideias entre o artista e o matemático Roger Penrose). a imagem central mostra uma grande escadaria em que monges sobem e descem em um loop contínuo. o paradoxo é que os monges que sobem e os monges que descem nunca atingirão o topo ou a base da escada - em vez disso, continuarão eternamente andando em círculos.
”em alguns dos seus desenhos, um único tema pode aparecer em diferentes níveis de realidade. por exemplo, um nível em um desenho pode ser claramente reconhecido como representativo da fantasia ou imaginação; outro nível poderia ser reconhecido como a realidade. esses dois níveis podem ser os únicos níveis explicitamente retratados. mas a mera presença desses dois níveis convida quem olha para olhar para si como parte de um novo nível; e, por dar esse passo, quem olha não consegue não cair na cadeia implícita de níveis de Escher, na qual, para qualquer nível, há sempre um nível acima, de maior ‘realidade’, e sempre um nível abaixo, mais ‘imaginário’. isso já é impressionante por si. porém, o que acontece se a cadeira de níveis não for linear, mas formar um loop? assim, o que é real e o que é fantasia?“
gödel
para amarrar os temas apresentados anteriormente, o livro fala sobre como é possível intuir que existe algo de matemático no paradoxal conflito entre o infinito e o finito presente nos trabalhos de Bach e Escher. sendo assim, o próximo nome é o matemático Kurt Gödel, responsável por destruir a busca por uma teoria matemática universal.
a descoberta de Gödel é nada menos do que a tradução de um antigo paradoxo da filosofia: o Paradoxo de Epiménides (ou: paradoxo do mentiroso). Epiménides era cretense, e disse:
“todos os cretenses são mentirosos”
essa afirmação só pode ser verdadeira se for falsa, e só pode ser falsa se for verdadeira. uma versão mais simples dessa frase é simplesmente dizer “eu estou mentindo” ou “essa afirmação é falsa”. esse é um strange loop de um passo.
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